Aufgabe

Lösung

3a)

mit X : Anzahl grüner Ampeln (binomialverteilt) ; n = 25 ; p = 0,3 ergibt sich:
P(ggggg) = 0,00243
Nur in 2,5 Promille der Fahrten kann er die ersten 5 Ampeln ohne Warten passieren.
P(X>12) = 0,017
In 1,7% der Fahrten kann er mehr als 50% der Ampeln ohne Warten passieren.

3b)

E(X) = 7,5
Er kann im Mittel zwischen 7 und 8 Ampeln bei Grün passieren.
(wegen sigma=2,3<3) ist U(1,64sigma;my) = [ 3 ; 12 ] zu ungenau,
mit P(4<=X<=11)=0,923 gilt für Y: Anzahl roter Ampeln: P(14<=Y<=21)=0,923
Auf ca. 90% aller Fahrten wird er zwischen 14 und 21 Minuten warten müssen.

3c)

für W : Wartezeit in Minuten bei 25 Ampeln und 230 Fahrten (binomialverteilt)
ergibt sich mit n = 5750 ; p = 0,7: E(X) = 4025 ; sigma = 34,75
und mit 1 - sigma²/a² >= 0,9 folgt a >=109,9 = 110 und I = [ 3915 ; 4135 ]
Mit 90%-iger Sicherheit beträgt die jährliche Wartezeit zwischen 3915 und 4135 Minuten.

3d)

für T : Fahrzeit in Minuten bei 25 Ampeln (binomialverteilt) und E(X) = 30 ; sigma = 4,75
ergibt sich (mittels Näherung von Moivre-Laplace) für P(24<=T<=36) = 0,8576
Ca. 85,8% der Fahrten gehören zu den 'üblichen Fahrten' mit einer Dauer zwischen 24 und 36 Minuten.
(Zusätzlich kann aus n*p = 30 und Wurzel(n*p*(1-p))=4,75
durch Gleichsetzen p = 0,248 und n = 121 ermittelt werden.)

gesucht ist t0 mit P(t>t0) <= 1/230
<=> P(t<=t0) >= 229/230  <=> Phi (t0+0,5-my / sigma)>= 0,9957
=> z = 2,63 (aus Tabelle) und mit (t0-29,5)/4,75 = 2,63 folgt t0 = 41,9925
Die anzusetzende Fahrzeit beträgt ca 42 Minuten.

3e)

mit X : Anzahl Tage mit 'üblicher Fahrt' (binomialverteilt) ; n = 230 ; p = 0,858 ergibt sich:
E(X) = 197,34 ; sigma = 5,2936 ; z = 1,64 (wegen alpha = 5% einseitig)
Für die Vermutung p<0,858 (Nachbar lügt, hat gleichoft oder seltener eine 'übliche Fahrt')
kann H0: p>=0,858 wegen X=210 Element von AH0 = [ 188 ; 230 ] nicht verworfen werden.
(Als Zusatz möglich:)
Für die Vermutung p>0,858 (Nachbar sagt die Wahrheit, hat häufiger eine 'übliche Fahrt')
kann H0: p<=0,858 wegen X=210 kein Element von AH0 = [ 0 ; 207 ] verworfen werden.

Der Nachbar kann nicht als Lügner bezeichnet werden, vielmehr bestätigt sich die Vermutung,
dass seine Quote 'üblicher Fahrten' günstiger ist.