Aufgabe |
Lösung |
3a) |
![](../../../../images/ampel.gif)
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mit X : Anzahl grüner Ampeln (binomialverteilt)
; n = 25 ; p = 0,3 ergibt sich: P(ggggg) = 0,00243 Nur in
2,5 Promille der Fahrten kann er die ersten 5 Ampeln ohne Warten
passieren. P(X>12) = 0,017 In 1,7% der Fahrten kann er
mehr als 50% der Ampeln ohne Warten passieren. |
3b) |
E(X) = 7,5 Er kann im
Mittel zwischen 7 und 8 Ampeln bei Grün passieren.
(wegen sigma=2,3<3) ist U(1,64sigma;my) = [ 3 ; 12 ] zu ungenau,
mit P(4<=X<=11)=0,923 gilt für Y: Anzahl roter Ampeln: P(14<=Y<=21)=0,923
Auf ca. 90% aller Fahrten wird er zwischen 14 und 21 Minuten warten müssen.
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3c) |
für W : Wartezeit in
Minuten bei 25 Ampeln und 230 Fahrten (binomialverteilt) ergibt
sich mit n = 5750 ; p = 0,7: E(X) = 4025 ; sigma = 34,75 und
mit 1 - sigma²/a² >= 0,9 folgt a >=109,9 = 110 und
I = [ 3915 ; 4135 ] Mit 90%-iger Sicherheit beträgt die
jährliche Wartezeit zwischen 3915 und 4135 Minuten. |
3d) |
für T : Fahrzeit in
Minuten bei 25 Ampeln (binomialverteilt) und E(X) = 30 ; sigma =
4,75 ergibt sich (mittels Näherung von Moivre-Laplace)
für P(24<=T<=36) = 0,8576 Ca. 85,8% der Fahrten gehören
zu den 'üblichen Fahrten' mit einer Dauer zwischen 24 und 36
Minuten. (Zusätzlich kann aus n*p = 30 und Wurzel(n*p*(1-p))=4,75
durch Gleichsetzen p = 0,248 und n = 121 ermittelt werden.)
gesucht ist t0 mit P(t>t0) <= 1/230 <=>
P(t<=t0) >= 229/230 <=> Phi (t0+0,5-my / sigma)>=
0,9957 => z = 2,63 (aus Tabelle) und mit (t0-29,5)/4,75 =
2,63 folgt t0 = 41,9925 Die anzusetzende Fahrzeit beträgt
ca 42 Minuten. |
3e) |
mit X : Anzahl Tage mit
'üblicher Fahrt' (binomialverteilt) ; n = 230 ; p = 0,858 ergibt
sich: E(X) = 197,34 ; sigma = 5,2936 ; z = 1,64 (wegen alpha
= 5% einseitig) Für die Vermutung p<0,858 (Nachbar lügt,
hat gleichoft oder seltener eine 'übliche Fahrt') kann
H0: p>=0,858 wegen X=210 Element von AH0 = [ 188 ; 230 ] nicht
verworfen werden. (Als Zusatz möglich:) Für die
Vermutung p>0,858 (Nachbar sagt die Wahrheit, hat häufiger
eine 'übliche Fahrt') kann H0: p<=0,858 wegen X=210
kein Element von AH0 = [ 0 ; 207 ] verworfen werden.
Der Nachbar kann nicht als Lügner bezeichnet
werden, vielmehr bestätigt sich die Vermutung, dass seine
Quote 'üblicher Fahrten' günstiger ist. |