3. Aufgabe (Stochastik)
Auf dem Weg von der Wohnung zu seinem Arbeitsplatz
hat ein Autofahrer insgesamt 25 Ampeln zu passieren, die unabhängig
voneinander geschaltet sind. Erfahrungsgemäß kann er
jede Ampel mit einer Wahrscheinlichkeit von 30% ohne Wartezeit passieren.
Ansonsten muss er mit einer mittleren Wartezeit von 1 Minute pro
Ampel rechnen. |
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit
a1) zeigt frühestens die 6. Ampel rot?
a2) erreicht er auf einer Fahrt mehr als die Hälfte
der Ampeln bei Grün, kann diese also ohne Verzögerung passieren?
b) Wieviele Ampeln kann er im Mittel bei Grün passieren?
An wievielen Ampeln wird er mit 90%-iger Sicherheit
warten müssen? Welche Wartezeiten muss er also einkalkulieren?
c) Im Jahr fährt er 230-mal von der Wohnung zur Arbeitsstätte.
Nun sei die Zufallsvariable W: Wartezeit in Minuten bei 25 Ampeln und 230 Fahrten
betrachtet.
Mit welcher Jahres-Wartezeit muss er mit mindestens 90%-iger Sicherheit rechnen?
Hinweise: Bestimmen Sie hierfür mit der Tschebyschew-Ungleichung den Radius a des gesuchten
Intervalls I, und geben Sie abschließend auch I an. Die Ungleichung ist
nicht herzuleiten,
sind hier Erwartungswert und Standardabweichung dieser Zufallsgröße
W.
d) Eine umfangreiche Auswertung der Fahrzeiten von der Wohnung
zur Arbeitsstätte hat ergeben, dass die Zufallsgröße T:Fahrzeit
in Minuten binomialverteilt ist mit Erwartungswert (Minuten). Als übliche
Fahrt soll eine Fahrt gelten, wenn die Fahrzeit um höchstens 6 Minuten
vom Erwartungswert abweicht.
d1) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dann eine beliebig herausgegriffene
Fahrt als übliche Fahrt zu bezeichnen?
d2) Welche Fahrzeit t0 muss der Autofahrer ansetzen,
damit die Wahrscheinlichkeit für eine Fahrzeit, die länger als t0 ist,
höchstens 1/230 beträgt, er also im Mittel pro Jahr höchstens
einmal zu spät zur Arbeit kommt?
Hinweis: Berechnen Sie dies jeweils näherungsweise.
e) Nehmen Sie die Wahrscheinlichkeit für eine übliche Fahrt nun mit 0,858 an. Ein Nachbar, der täglich die gleiche Strecke fahren muss, behauptet, jährlich an 210 von 230 Tagen eine übliche Fahrt erlebt zu haben. Kann er (mit 95%-iger Gewissheit) als Lügner bezeichnet werden?
Lösung (aber zuerst selbst rechnen)
© 2004 Ziemke .:. Letzte Aktualisierung am 12. März 2004 durch den WebMaster.