Aufgabe

Lösung

2a)

Symmetrie: Punktsymmetrie zum Ursprung
Definitionsbereich: Df = R \ {-2 ; 2}
Asymptoten: a1: x = -2 ; a2: x = 2 ; a3: a3(x) = 0,75x
(im weiteren hier nur die gerundeten Koordinaten:)
Nullstellen: xn1 = -1,6 ; xn2 = 1,6
Extrempunkte: H1(-2,8 ; -2,8) ; T1(-1,2 ; -0,4) ; H2(1,2 ; 0,4) ; T2(2,8 ; 2,8) (für Nachschreiber ohne Untersuchung)
Wendepunkte: W(0 ; 0)

2b)

Graph (inklusive Normale):

2c)

Wendetangente: tw(x) = 0,5x ; Normale dazu: nw(x) = -2x
gemeinsame Punkte des Garaphen von f mit der Normalen (hier nur gerundete Koordinaten):
S1(-1,9 ; 3,8) ; S2(0 ; 0) ; S3(1,9 ; -3,8)

2d)

Nachweis durch Ableiten: zu zeigen ist, dass F'(x) = f(x) gilt
Nachweis durch Substitution möglich: Integral ( 2x * 1/(x²-4) )dx
mit g'(x) = 2x ; g(0) = -4 ; g(2/3 * Wurzel(6)) = -4/3

2e)

Ansatz: A = 2* Integral ( 0,75x + x/(x²-4) )dx mit Grenzen 0 und 2/3 * Wurzel(6)
Inhalt der Flächen zwischen G(f) und erster Achse: A = 2 + 3*ln(3) + ln(5) = 0,314

2f)

(nur Nachschreiber:)
mit Extremalbedingung A=a*b , den Nebenbedingungen a=2-x und b=a3(x)-nw(x) =0,75x+2x
ergibt sich für die Zielfunktion A(x) = -11/4 * x² + 11/2 mit DA = [ 0 ; 2 ]
die Extremalstelle xH = 1, an der ein relatives Maximum liegt (keine Randextrema vorhanden).
Weitere Parameter sind a = 1 ; b = 2,75 ; A = 2,75