Aufgabe: |
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Zwischen der x-Achse und der Parabel zu f(x)=x² soll das Maß der Fläche im Intervall [0;b] bestimmt werden. Dies geschieht näherungsweise mittels Unter- und Obersumme von Zerlegungsrechtecken. In den Abbildungen rechts ist dies für b=1 mit n=4 Zerlegungen gezeigt. Hinweis: Sie können dies [hier] interaktiv betrachten. |
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a) Berechnen Sie für b=4 und n=4
die Obersumme OS4 und dann die Untersumme US4
algebraisch. Welcher quantitativer Zusammenhang besteht zwischen
der Untersumme US4, dem tatsächlichen Flächeninhalt
A und der Obersumme OS4? |
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b) Stellen Sie nun für die Intervallbreite b (statt bisher 4) und n (statt bisher 4) Zerlegungsrechtecke ebenfalls Summenterme der Unter- und Obersumme auf und vereinfachen Sie diese weitestgehend. |
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c1) Der Zerlegungsvorgang wird nun theoretisch weiter verfeinert und n immer größer. Bilden Sie die Grenzwerte der Obersumme OSn und der Untersumme OSn. c2) Wie groß ist A über dem Intervall [0;b] und für b aus {4;7;11}? c3) Vergleichen Sie Ihre Lösungen zu b) und c) mit der veröffentlichten. Versuchen Sie nun nochmals selbst, die Fläche unter dem Graph von f mit f(x)=x³ bis zur x-Achse über dem Intervall [0;b] durch n-Zerlegung und Grenzwertbildung zu ermitteln. |
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d) Berechnen Sie mit dem GTR die Obersumme OS4 und dann die Untersumme US4. Vergleichen Sie mit den Ergebnissen aus a). |
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e) Verallgemeinern Sie die verwendeten Formeln für die Unter- und Obersumme weitgehend durch Einbeziehung von Variablen (N Zerlegungen, B rechte Grenze - anfangs mit Wert 4, A für linke Grenze - anfangs mit Wert 0). Berechnen Sie nun für B=4 und N aus {10;20;...;90;100;200;...;900} die Unter- und Obersummen und tragen Sie die Ergebnisse in einer Tabelle ein. Auf wieviele Dezimale genau können Sie die tatsächliche Fläche A bereits bestimmen? |
Was Sie dazu wissen sollten: [II.List] OPS 5:seq( liefert mit seq(X²,X,1,10,1) eine Liste der ersten zehn Quadratzahlen [II.List] MATH 5:sum( liefert mit sum(seq(X²,X,1,10,1)) deren Summe, also 385 seq(X²,X,1,4,2)*2.5 liefert das 2,5-fache jeder zweiten der ersten vier Quadratzahlen, also {2.5 22.5} |
Lösung (aber zuerst selbst rechnen!) |
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© 2006 Ziemke .:. Letzte Aktualisierung am 18. November 2006 durch den WebMaster.