Stochastik-Abiturvorbereitung im GK Mathematik der Stufe 13:

Übung 11

Aufgabe:

Eine Firma produziert Metallzylinder der Länge 5 cm. Durch einen erfolgreichen Vertragsabschluss wurden langfristige Lieferverträge im Umfang von 20 000 Zylinder pro Woche abgeschlossen. Die Metallzylinder werden auf zwei Maschinen A und B gefertigt. Die Ausfallrate bei Maschine A wird mit 15% angegeben. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der beiden Maschinen ausfällt, liegt bei 17,55%.
[Hinweis: Die Ausfälle der Maschinen sind unabhängig voneinander.]

1. Berechne die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
   1. Maschine B fällt aus.
   2. Maschine A und Maschine B fallen gleichzeitig aus.
   3. Nur Maschine A oder nur Maschine B fällt aus.
2. Eine Woche hat fünf Arbeitstage. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
   1. funktioniert Maschine A an allen Tagen einer Woche?
   2. fällt Maschine A an mehr als zwei Arbeitstagen in einer Woche aus?
   3. fällt Maschine A an genau einem Tag in einer Woche aus?
3. Maschine A wird an 100 Arbeitstagen auf Ausfallzeiten überprüft.
   1. Wie viele Ausfalltage sind zu erwarten?
   2. Wie viele Ausfalltage sind mit einer Sicherheit von 99% zu erwarten?
4. Die derzeit bekannte Ausfallrate für Maschine A sei nun 20%.
   Aufgrund aktueller Statistiken vermutet die Firma, dass sich die Ausfallzeit bei Maschine A verändert hat. Sie nimmt die letzten 100 Arbeitstage als Entscheidungsgrundlage und zählt die Tage, an denen Maschine A ausgefallen ist.
   1. Welche Hypothese ist zu testen?
   2. Bestimme den zugehörigen Annahme- und Verwerfungsbereich. Gib auch eine Entscheidungsregel an. Die Irrtumswahrscheinlichkeit soll alpha α ≤ 10% sein.
   3. Maschine A ist an 11 der 100 Arbeitstage ausgefallen. Muss man von einer veränderten Ausfallquote ausgehen?
   4. Wie wäre bei 25 Ausfalltagen zu entscheiden?
   5. Welcher Fehler kann bei (3) und (4) jeweils geschehen?
   6. Tatsächlich ist die Ausfallquote auf 16,67% (1/6) gefallen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird das nicht erkannt?
      (Zur Berechnung ist die Tabelle der kumulierten Wahrscheinlichkeiten nötig.)
5. Bearbeiten Sie Teil d. für 200 Arbeitstage und die Ausfallquote 15%:
   Die bekannte Ausfallrate für Maschine A sei 15%.
   Aufgrund aktueller Statistiken vermutet die Firma, dass sich die Ausfallzeit bei Maschine A verändert hat. Sie nimmt die letzten 200 Arbeitstage als Entscheidungsgrundlage und zählt die Tage, an denen Maschine A ausgefallen ist. 
   1. Welche Hypothese ist zu testen?
   2. Bestimme den zugehörigen Annahme- und Verwerfungsbereich. Gib auch eine Entscheidungsregel an. Die Irrtumswahrscheinlichkeit soll alpha α ≤ 5% sein.
   3. Maschine A ist an 37 der 200 Arbeitstage ausgefallen. Muss man von einer veränderten Ausfallquote ausgehen?
   4. Wie wäre bei 45 Ausfalltagen zu entscheiden?
   5. Welcher Fehler kann bei (3) und (4) jeweils geschehen?
   6. Tatsächlich ist die Ausfallquote auf 12% gefallen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird das nicht erkannt?
      (Geben Sie hier nur den weitgehend umgeformten Berechnungsterm an.
      Eine elementare Berechnung der Wahrscheinlichkeit oder das Auslesen aus bekannten Tabellen ist hier nicht möglich!)

Tipps zu a) bis e)

© 2004 Ziemke .:. Letzte Aktualisierung am 10. Februar 2004 durch den WebMaster.