Stochastik-Übung 10

Stochastik-Abiturvorbereitung im GK Mathematik Stufe 13:

Übung 10

Lösungen zur Aufgabe:

Ein Händler bietet Tulpenzwiebeln in zwei Güteklassen an:
Zwiebeln 1. Wahl keimen zu 90%, Zwiebeln 2. Wahl nur zu 75%.
Ein Kunde kauft 100 Zwiebeln der 1. Wahl, argwöhnt aber, nur minderwertigere Ware (75% Keimerfolg) erhalten zu haben.

Modellbildung:
Die Problemstellungen erfordern jeweils einen einseitigen Hypothesentest.

a) Welche Hypothese H₀ sollte er testen? Beschreiben Sie mögliche Fehler 1. und 2. Art.

Kurze Lösungsskizze:
H0: p>=0,9 muss getestet werden, um durch Verwerfen die Vermutung 'Ware ist nicht 1. Wahl' zu bestätigen
möglicher Fehler 1.Art:
Die Stichprobe liefert mit guter Ware ein ungewöhnliches, seltenes Ergebnis, die Ware wird irrtümlich als 2. Wahl erkannt.
möglicher Fehler 2.Art:
Die Stichprobe liefert mit schlechter Ware dennoch ein verträgliches Ergebnis, so dass nichts entschieden wird, die schlechte Ware also irrtümlich nicht als solche erkannt wird.

b) Er will bei weniger als 89 keimenden Zwiebeln sein Geld zurück. Der Händler sagt ihm, dass dabei gute Ware viel zu wahrscheinlich abzulehnen sei. Hat der Händler recht? Wie wahrscheinlich ist mit der Entscheidungsregel dieser Irrtum 1. Art?

Kurze Lösungsskizze:
V=[0;88] soll gelten, also ist alpha = P(X<=88)=0,297 (mit n=100 ; p=0,9)

c) Stellen Sie für den Test die geeignete Entscheidungsregel so auf, dass der Fehler 1. Art höchstens zu 5% geschieht. Berechnen Sie dazu auch die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art.

Kurze Lösungsskizze:
k1 mit P(X<k1)<=0,05 ist gesucht zu A=[k1;100] mit n=100 und p=0,9
k1=85 ist geeignet, da P(X<=84)=0,040<0,05
k1=86 ist ungeeignet wegen P(X<=85)=0,073>0,05
also V=[0;84] mit Entscheidungsregel:
Verwerfe die Hypothese 'Ware ist erstklassig' und bestätige den Verdacht, falls weniger als 85 Tulpenzwiebeln keimen.
für den möglichen Fehler 2. Art (falls tatsächlich p=0,75 ist) gilt:
beta = P(X>=85) = 1-0,989 = 0,011 also recht selten

d) Der Händler will mit 50 Zwiebeln einen Gegentest durchführen, um die gute Qualität (90%) der gelieferten Zwiebeln nachzuweisen. Welche Vermutung will er bestätigen, und welche Hypothese sollte er testen? Stellen Sie eine Entscheidungsregel auf, bei der er nur mit höchstens 7,5% minderwertige Zwiebeln als vermeintlich 1. Wahl anbietet.

Kurze Lösungsskizze:
zu n=50 ist H0:p<=0,75 zu testen mit A=[0;k2] und V=[k2+1;100]
k2 ist gesucht mit P(X>k2)<=0,075 , also P(X<=k2)>=0,925
k2=42 ist geeignet, da P(X<=42)=0,955>0,925
k2=41 ist ungeeignet, da P(X<=41)=0,908<0,925
also V=[43;50] mit entsprechender Entscheidungsregel

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