Analysis-Abiturvorbereitung im GK Mathematik der Stufe 13:

Übung 7
Themenbereich Anwendungsaufgaben (Betriebswirtschaft)

Aufgabe:

Ein Einproduktunternehmen kann das hergestellte Gut zu einem konstanten Preis von p=88 Geldeinheiten (GE) pro Mengeneinheit (ME) absetzen.
Die Funktion K beschreibt die Gesamtkosten in Abhängigkeit von der Ausbringungsmenge x durch K(x) = x³ - 8x² + 64x + 160.
Die Kapazitätsgrenze (maximale Anzahl produzierter Güter) beträgt 10 ME pro Tag.
Eine Untersuchung anhand der Gesamtkosten-, Erlös- und Gewinnfunktion und ihrer Ableitungsfunktionen soll die wirtschaftlichen Fragestellungen nach der Gewinnzone, dem Gewinnmaximum, dem Betriebsoptimum und dem Betriebsminimum beantworten.

Beschreibung der wichtigsten Funktionen:
Gesamtkostenfunktion K ordnet jeder Ausbringungsstückzahl x die notwendigen Produktionskosten K(x) zu.
Erlösfunktion E ordnet jeder Ausbringungsstückzahl x den erzielbaren Erlös zu.
Gewinnfunktion G ordnet jeder Ausbringungsstückzahl x den Gewinn ( = Erlös - Kosten) zu.
Stückkostenfunktion k gibt zu jeder Ausbringungsstückzahl die Kosten k(x) = K(x) / x pro Stück an.

Erläuterungen zu den Begriffen:
Gewinnzone: Bereich (Stückzahlen), in dem die Kosten pro Stück geringer sind als der Erlös pro Stück.
Die kleinste Stückzahl in der Gewinnzone (der Beginn der Gewinnzone) heißt Gewinnschwelle, die Gewinnzone endet mit der Gewinngrenze.
Gewinnmaximum: Größtmöglicher zu erzielender Gewinn
Betriebsoptimum: Ausbringungsmenge x₀, bei der der Betrieb am wirtschaftlichsten produziert;
das ist die Menge x₀, bei der die durchschnittlichen Kosten je Stück (Stückkostenfunktion k(x)=K(x) / x) am geringsten sind.
Betriebsminimum: Ausbringungsmenge, bei der die variablen Stückkosten ihr Minimum haben.

1. Stellen Sie Beziehungen her zwischen den oben erläuterten Begriffen und den zugehörigen Eigenschaften am Graph
   (der Gesamtkostenfunktion K, Erlösfunktion E, Gewinnfunktion G, Stückkostenfunktion k).
2. Untersuchen Sie die Gesamtkostenfunktion K und zeichnen Sie (nach Ermittlung weiterer Graphenpunkte) den Graph G(K).
   In welchem Bereich ist K definiert? Wie hoch sind die Fixkosten f, die unabhängig von der produzierten Menge entstehen?
3. Ermitteln Sie die Funktionsterme E(x) der Erlösfunktion und G(x) der Gewinnfunktion.
   Zeichnen Sie den Graph G(E) in das selbe Koordinatensystem zu G(K). Beachten Sie den Definitionsbereich von E, G und K.
   Skizzieren Sie dann zusätzlich den Graph G(G) der Gewinnfunktion (anhand der beiden anderen Graphen).
4. Berechnen Sie die Gewinnzone und den maximalen Gewinn.
   Beschreiben Sie, durch welche Eigenschaften der Graphen sie charakterisiert werden.
5. Ermitteln Sie das Betriebsoptimum. Beschreiben Sie, durch welche Eigenschaften der Graphen es charakterisiert wird.
   Hinweis: eine genaue, rechnerische Lösung ist schwierig. Nutzen Sie MatheAss für die genaue Bestimmung.
6. Zeigen Sie, dass bei einer Ausbringungsmenge von 4 ME alle durch die Produktion zusätzlich zu den Fixkosten entstehenden Kosten dann gedeckt sind, wenn das Gut einen Erlös von mindestens 48 GE bringt.

Graphen der Gesamtkostenfunktionen K, Erlösfunktion E, Gewinnfunktion G und der Stückkostenfunktion k
Lösungen zu a) - f)

© 2004 Ziemke .:. Letzte Aktualisierung am 10. Februar 2004 durch den WebMaster.