Übung 6
Themenbereich Parameteraufgaben (Steckbriefaufgaben)
Detaillösung zu b):
Ableitungen:
f (x) = ax^4 + bx³ + cx² + dx e
f '(x) = 4ax³ + 3bx² + 2cx + d
f "(x) = 12ax² + 6bx + 2c
f '"(x) = 24ax + 6b
Bedingungen:
aus f (0) = 0 folgt e = 0
aus f "(0) = 0 und f '"(0) <> 0 folgt c = 0 und 6b <>
0
aus f '(0) = 1 folgt d = 1
aus f (2) = 4 folgt 16a + 8b = 2 (c=0 und d=1 und e=0 bereits berücksichtigt)
aus f '(2) = 0 und f "(2) > 0 folgt 32a + 12b = - 1 (c=0 und d=1 und
e=0 bereits berücksichtigt) und 48a + 12b > 0
Gleichungssystem:
16a + 8b = 2 und 32a + 12b = - 1 und c = 0 und d = 1 und e = 0, daraus folgt
8a + 4b = 1 und 8a + 3b = -0,25 und c = 0 und d = 1 und e = 0, daraus folgt
a = - 0,5 und b = 1,25 und c = 0 und d = 1 und e = 0
Zwischenergebnis:
Höchstens f mit f (x) = - 0,5 x^4 + 1,25 x³ + x erfüllt alle
Bedingungen.
Hinreichende Prüfungen:
f '"(0) = 6b = 7,5 <> 0 (hinreichende Bedingung ist erfüllt)
f "(2) = 48a + 12b = - 24 + 18 = - 6 < 0 (f "(2) > 0 war
gefordert; diese hinreichende Bedingung ist nicht erfüllt)
Ergebnis:
Es gibt keine Funktion 4. Grades, deren Graph G(f) sämtliche beschriebenen
Eigenschaften hat.
© 2004 Ziemke .:. Letzte Aktualisierung am 10. Februar 2004 durch den WebMaster.