Übung 6
Themenbereich Parameteraufgaben (Steckbriefaufgaben)
Detaillösung zu a):
Ableitungen:
f (x) = ax^4 + bx³ + cx² + dx e
f '(x) = 4ax³ + 3bx² + 2cx + d
f "(x) = 12ax² + 6bx + 2c
f '"(x) = 24ax + 6b
Bedingungen:
aus f (0) = 3 folgt e = 3
aus f '(0) = 0 folgt d = 0
aus f "(0) = 0 und f '"(0) <> 0 folgt c = 0 und 6b <>
0
aus f (3) = 0 folgt 81a + 27b = - 3 (c = 0 und d = 0 und e = 3 bereits berücksichtigt)
aus f '(3) = 0 folgt 108a + 27b = 0 (c = 0 und d = 0 und e = 3 bereits berücksichtigt)
Gleichungssystem:
108a + 27b = 0 und 81a + 27b = -3 und c = 0 und d = 0 und e = 3, daraus folgt
4a + b = 0 und 3a + b = -1/9 und c = 0 und d = 0 und e = 3, daraus folgt
a = 1/9 und b = -4/9 und c = 0 und d = 0 und e = 3
Zwischenergebnis:
Höchstens f mit f (x) = 1/9 x^4 - 4/9 x³ + 3 erfüllt alle Bedingungen.
Hinreichende Prüfung:
f '"(0) = 6b = -8/3 <> 0 (hinreichende Bedingung ist erfüllt)
Ergebnis:
Nur der Graph G(f) der Funktion f mit f (x) = 1/9 x^4 - 4/9 x³ + 3 hat
sämtliche beschriebenen Eigenschaften.
© 2004 Ziemke .:. Letzte Aktualisierung am 10. Februar 2004 durch den WebMaster.