Tipps zur Lösung:

Die Rinne besteht aus einem Rechteck und einem Halbkreis.
Als bekannt wird der Umfang U angenommen, der aber variabel bleibt.
Der Mathematiker nennt diese Eigenschaft 'beliebig, aber fest'.
Von welchen Maßen des Halbkreises und des Rechtecks hängt dieser Umfang ab?
Wie lautet die Bestimmungsgleichung zu Halbkreis- und Rechteckumfang?
Wie setzt sich dann die Bestimmungsgleichung zum Umfang zusammen?
Der Querschnitt (also dessen Flächeninhalt) korrespondiert mit der Fläche von Halbkreis und Rechteck.
Er soll maximal sein.
Wie lautet die Bestimmungsgleichung zu Halbkreis- und Rechteckfläche?
Setzen Sie möglichst wenige Variablen ein; a und r genügen!
Bestimmen Sie
- die Extremalbedingung (enthält noch zwei Variable!)
- eine Nebenbedingung, umgeformt nach einer der Variablen (welche ist geeigneter?)
- die umgeformte Extremalbedingung; sie enthält (durch Einsetzung) nur eine Variable
- die Zielfunktion mit ihrem Definitionsbereich (welche Maße sind für die gestellte Aufgabe sinnvoll?)
- das relative Extremum (hier Maximum) für die Flächeninhaltsfunktion A,
- etwaige Randextrema (gibt es welche? Sind sie extremer als der gefundene Wert?)
- durch hinreichende Überprüfung, ob das Extremum das gewünschte (Maximum) ist
- die übrigen Parameter.
Notieren Sie eine ausführliche Antwort.

Hinweis: Bezeichnen Sie in der Skizze zuerst die verwendeten Größen.