Übungen zur Analysis in Stufe 12

Parameteraufgaben mit CAS / TR / GTR

Hinweis: Der Lösungsgang wird hier für den CAS-Taschenrechner TI-89 notiert.
3rd- meint grüne Drittbelegung der Tasten, erreichbar über 'Diamant'-Taste.

Lösung zu c1):

Vorüberlegungen:
Als Achsenabschnitte im Koordinatensystem sollte 1LE = 100m gewählt werden, um später bequem Weglängen ablesen zu können. Hierdurch ergeben sich wegen der Abstandsbedingung aber ungünstige Zahlen für die Anschlussstellen.
Der lückenlose Anschluss (Stetigkeit der Ergänzung) ohne Knick (Differenzierbarkeit) und mit gleicher Krümmungsart verlangt nach sechs aufzustellenden Bedingungen - je drei für jede Anschlussstelle, also sind sechs Parameter zu ermitteln, dies für eine Funktion 5. Grades.
Wegen der späteren Variation der Aufgabe (unterschiedliche Lage der Anschlusspunkte P1 und P4) ist es nicht sinnvoll, anfangs eine zur 2. Achse symmetrische Funktion (4. Grades) vorauszusetzen.

Zuerst wird der Term f(x) der allgemeine Lösungsfunktion notiert und gespeichert. Die Koeffizienten werden statt mit a1, a2, ... oder a, b, c, ... (führt wegen vorbelegter Variablen zu Problemen!) bequem mit t1, t2, ... bezeichnet:

t1 * x^5 + t2 * x^4 + t3 * x^3 + t4 * x^2 + t5 * x + t6 STO> f(x)

Done

Hinweise: t, ^ und STO> meint die so bezeichneten Tasten, * meint die Multiplikationstaste x.

Auch die benötigten Ableitungen der Lösungsfunktion werden ermittelt und als f1(x) und f2(x) gespeichert.

d( f(x),x,1) STO> f1(x)	2nd-8 liefert d(
d( f(x),x,2) STO> f2(x)

Hinweis: 2nd - 8 oder auch F3 - 1 liefert bequem die d( - Funktion.

Die einfache Betragsfunktion liefert einen geeigneten Graph für die mathematische Modellierung. Die Anschlusspunkte auf ihr seien P1 und P4 (da später zwei weitere Punkte hinzukommen) mit den Stellen x1 und x4, für die wegen des Abstandes zum Kreuzungspunkt (0/0) gelten soll: , wenn man im Koordinatensystem 1 LE = 100m verwendet.

Anfangs wird für P1 und P4 der größte Abstand angenommen.
Die zu ergänzende Funktion wird g genannt, ihr Term g(x)=|x| sei für reelle x mit x1 <= x <= x4 definiert.

(-) 2nd-x( 2 )STO> x1	2nd-x liefert Wurzel(
2nd-x( 2 )STO> x4
abs( x) STO> g(x)	catalog a liefert abs(

Nun kann man bereits den Graph der Funktion g zeichnen. Dies ist im Bereich -2 < x < 2 und 0 < y < 2 sinnvoll. Dazu definiert man im [Y=]-Menü (erreichbar durch 3rd-F1) und im WINDOW-Menü (3rd-F2):

y1=g(x) \| x > (-)2 and x < x1 and x > x4 and x < 2	Einstellungen im Y= - Menü catalog a PfeilUnten liefert _and_
x_min=-2, x_max=2, x_scl=1, x_res=1, y_min=0, y_max=2, y_scl=1	Einstellungen im WINDOW-Menü
3rd F3	(mit Haken markierte) Graphen zeichnen

Als nächstes wechselt man wieder zum Home-Fenster und erstellt und speichert die Bedingungen:

f(x1)=g(x1) and f(x4)=g(x4) and f1(x1)=g1(x1) and f1(x4)=g1(x4) and f2(x1)=g2(x1) and f2(x4)=g2(x4) STO> bed

Bedingung speichern in Variable bed

Weiter wird eine Lösung gesucht, die dieser Bedingung genügt und möglichst alle Parameter t1, t2, ... bestimmt; diese Lösungen eingesetzt in f(x) wird als Lösungsfunktion ff(x) gespeichert:

solve(bed,{t1,t2,t3,t4,t5,t6}) STO> loes	Lösung speichern in Variable loes
f(x) \| loes STO> ff(x)	Taste \| liefert den sog. WITH-Operator

Hinweis: Das Speichern auch der Parameterliste z. B. in einer Variable param misslingt leider.
Sonst wäre ein vereinfachter Aufruf solve(bed,param) STO> loes möglich.

Jetzt wird auch diese Lösungsfunktion im Y= - Menü eingetragen, ihr Graph zusätzlich gezeichnet:

y2=ff(x) \| x >= x1 and x <= x4	ff(x) im Y= - Menü
3rd F3	(mit Haken markierte) Graphen neu zeichnen

Die Lösungsparameter t1, t2, ... werden angezeigt durch Eingabe loes:

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