Übungen im GK Mathematik der Stufe 11

Übungen im GK Mathematik der Stufe 11

Tipps zur Bestimmung der Scheitelpunktform zu vorgegebenen Parabeln

Die Graphen gehören zu den Funktionen f1, f2 und f3
und wurden mit MatheAss gezeichnet.

Vorüberlegung zur Scheitelpunktform:
f(x) = a (x - xs)² + ys mit dem Scheitelpunkt S(xs / ys) und dem Streckfaktor a.
Üblich ist auch die Notation f(x) = a (x - b)² + c.

Vorüberlegung zur Ermittlung des Streckungsfaktors a:
Schreibe den Streckfaktor als Bruch,
wobei der Weg vom Scheitelpunkt zu einem beliebigen weiteren Punkt auf dem Graphen betrachtet wird.
Zum notwendigen Weg nach rechts gibt
- der Nenner den Weg nach oben an der Normalparabel,
- der Zähler den tatsächlichen Weg zum weiteren Graphenpunkt nach oben (dann a > 0) oder nach unten (dann a < 0) an.
Beide Punktkoordinaten sollten möglichst natürliche Zahlen sein.
Beispiel: S(3 / 4) und P(7 / 2); betrachtet wird ein Weg, der 4 nach rechts (von x=3 bis x=7) führt.
An der Normalparabel müssten dazu 16 Schritte nach oben gegangen werden (ergibt Nenner 16),
hier aber sind 2 Einheiten nach unten (von y=4 nach y=2) notwendig (ergibt Zähler -2 (da nach unten!)),
also ist insgesamt a = -2/16 = -1/8 = -0,125

Eine weitere, einfache Methode kombiniert die Nutzung der Scheitelpunktform mit der Punktprobe:
Beispiel: S(3 / 4) und P(7 / 2);
eingesetzt werden in die Scheitelpunktform f(x) = a (x - xs)² + ys: xs = 3 ; ys = 4 ; x = 7 ; y = f(7) = 2 ;
2 = a (7 - 3)² + 4 ergibt 2 = 16a + 4 , also 16a = -2 , also a = -0,125 .

Vorüberlegung zur Normalform:
f(x) = a x² + bx + c ,
wobei b und c nicht denen in der Scheitelpunktform entsprechen!
Nur der Streckfaktor a (falls -1 < a < 1 gilt, ist a ein Stauchungsfaktor) ist in beiden Gleichungsformen gleich groß.
Falls nur eine Spiegelung an der x-Achse vorliegt, gilt a = -1.
Falls keine Streckung oder Spiegelung vorliegt, gilt a = 1;
dann wird häufig auch die Notation f(x) = x² + px + q verwendet,
die mittels quadratischer Ergänzung nach x aufgelöst die bekannte p/q-Formel
x = -p/2 - Wurzel (p²/4 - q) oder x = -p/2 + Wurzel (p²/4 - q) ergibt.

Bestimmung von f1(x):
Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten S(4 / -3), also sind xs = 4 und ys = -3.
Die Parabel ist nach oben geöffnet, also ist das Vorzeichen vor x² positiv, also auch der Wert von a ist positiv.
Vom Scheitelpunkt gelangt man - wie bei der Normalparabel - mit zwei Schritten nach rechts und vier Schritten nach oben zum Graphenpunkt P(6 / 1);
also ist der Streckungsfaktor a = +4 / 4 = +1 (vgl. Vorüberlegung oben)
(oder - mit Punktprobe in der Scheitelpunktform: 1 = a (6 - 4)² - 3 , also 1 = 4a - 3 , also a = 1)
Insgesamt sind also die Funktionsgleichungen von f1
f1(x) = (x - 4)² - 3 (Scheitelpunktform) und
f1(x) = x² - 8x + 16 - 3 = x² - 8x + 13 (Normalform).

Bestimmung von f2(x):
Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten S(-2 / 3), also sind xs = -2 und ys = 3.
Die Parabel ist nach unten geöffnet, also ist das Vorzeichen vor x² negativ, also auch der Wert von a ist negativ.
Vom Scheitelpunkt gelangt man - wie bei der Normalparabel - mit zwei Schritten nach rechts und vier Schritten nach unten zum Graphenpunkt P(0 / -1);
also ist der Streckungsfaktor a = -4 / 4 = -1 (vgl. Vorüberlegung oben)
(oder - mit Punktprobe in der Scheitelpunktform: -1 = a (0 + 2)² + 3 , also -1 = 4a + 3 , also a = -1)
Insgesamt sind also die Funktionsgleichungen von f2
f2(x) = - (x + 2)² + 3 (Scheitelpunktform) und
f2(x) = -(x² + 4x + 4) + 3 = -x² - 4x - 4 + 3 = -x² - 4x - 1 (Normalform).

Bestimmung von f3(x):
Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten S(2 / -1), also sind xs = 2 und ys = -1.
Die Parabel ist nach unten geöffnet, also ist das Vorzeichen vor x² negativ, also auch der Wert von a ist negativ.
Vom Scheitelpunkt gelangt man - nicht wie bei der Normalparabel - mit einem Schritte nach rechts und drei (statt einem) Schritten nach unten zum Graphenpunkt P(3 / -4);
die Parabel ist also gestreckt mit dem Streckungsfaktor a = -3 / 1 = -3 (vgl. Vorüberlegung oben)
(oder - mit Punktprobe in der Scheitelpunktform: -4 = a (3 - 2)² - 1 , also -4 = a - 1 , also a = -3)
Insgesamt sind also die Funktionsgleichungen von f3
f3(x) = -3 (x - 2)² - 1 (Scheitelpunktform) und
f3(x) = -3 (x² - 4x + 4) - 1 = -3x² + 12x - 12 - 1 = -3x² + 12x - 13 (Normalform).

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