In dieser Übung soll das näherungsweise Berechnen von Quadratwurzelwerten iterativ und rekursiv realisiert werden. Dies geschieht nach einer Methode, die dem Mathematiker Heron von Alexandrien (ca. 60 n. Chr.) zugeschrieben wird:
Die Suche nach der Quadratwurzel einer Zahl A kann geometrisch aufgefasst werden als Suche nach der Kantenlänge eines Quadrates mit Flächeninhalt A.
Die Idee ist nun, mit einem Rechteck der Fläche A zu beginnen. Als Startwert für eine der Seitenlängen des Rechteckes kann z. B. a0 = 1 oder a0 = A verwendet werden. Die zweite Seitenlänge wird als b0 = A / a0 ermittelt.
Beispiel:
Gesucht sei die Wurzel aus 20.
Dann beginnt man mit dem Schätzwert
a0
= 4 und es gilt
b0
= 20 / 4 = 5.
In einer schrittweisen
Näherung bestimmt man nun jede nächste Seitenlänge
ai+1
als arithmetischer Mittelwert der beiden aktuellen Rechteckseiten,
also
ai+1 =
0,5*(ai +
bi).
Die zweite Seitenlänge bi+1 wird weiterhin ermittelt durch
bi+1 = A / ai+1.
Beispiel:
Aus dem Schätzwert a0 = 4 und der zweiten Seitenlänge b0 = 5 ergeben
sich
a1 =
0,5*(4 +
5) = 4,5 und
b1
= 20 / 4,5 = 40 / 9 = 4+4/9.
Dieses Näherungsverfahren
wird nun so lange fortgesetzt, bis ...
(Ergänzen Sie selbst eine sinnvolle Abbruchbedingung.)
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